Continuous random variables

Other Source

Ringkasan Teori & Rumus Variabel Acak Kontinu

1. Definisi Variabel Acak Kontinu

Variabel acak kontinu X dapat memiliki nilai apa pun dalam interval kontinu. Contoh: tinggi badan, waktu tunggu, suhu, laju peluruhan radioaktif.

2. Fungsi Kepadatan Peluang (PDF)

Syarat PDF f(x):
1. f(x) ≥ 0 untuk semua x
2. ∫-∞∞ f(x) dx = 1 (total luas = 1)

Grafik PDF

3. Menghitung Peluang

Karena P(X = a) = 0, peluang hanya bisa dihitung untuk interval:

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx

Untuk grafik sederhana bisa juga dengan geometri (luas segiempat, trapesium, segitiga).

4. Nilai Tengah (Median)

Median m adalah nilai yang memenuhi:

∫-∞m f(x) dx = 0.5

Intuisi: letak vertikal yang membelah luas kurva menjadi dua bagian sama besar.

5. Persentil Umum

Persentil-p (0 < p < 1) adalah q sedemikian hingga:

∫-∞q f(x) dx = p

6. Nilai Harapan (Mean)

E(X) = μ = ∫-∞∞ x f(x) dx

7. Varians & Standar Deviasi

Var(X) = σ² = E[(X-μ)²] = ∫-∞∞ (x-μ)² f(x) dx

atau

Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = ∫x²f(x)dx - μ²

Standar deviasi: σ = √Var(X)

8. Distribusi Uniform Kontinu

Untuk a ≤ x ≤ b:

f(x) = 1/(b-a)

• E(X) = (a+b)/2
• Var(X) = (b-a)²/12

9. Distribusi Eksponensial

Untuk x ≥ 0 dan parameter λ > 0:

f(x) = λ e-λx

• E(X) = 1/λ
• Var(X) = 1/λ²

10. Ringkasan Rumus Cepat

Konsep	Rumus
Peluang Interval	∫ab f(x) dx
Median	∫-∞m f(x) dx = 0.5
Mean	μ = ∫ x f(x) dx
Varians	σ² = ∫ x² f(x) dx - μ²

11. Catatan Praktis

1. Gunakan geometri jika bentuknya sederhana (segitiga, trapesium).
2. Gunakan integral jika bentuknya kurva.
3. Selalu periksa dua syarat PDF: f(x) ≥ 0 dan luas total = 1.