Further Algebra

Quiz 1:
 Fullscreen Mode

🎓 Aljabar Lanjutan: Pecahan Parsial dan Ekspansi Binomial

📚 Pengantar: Mengapa Kita Mempelajari Aljabar Lanjutan?

Pernahkah kamu melihat pecahan seperti ini?

(2x + 13)/[(2x + 1)(x - 3)]

Atau mungkin ekspresi seperti ini?

(1 + x)^(-3)

Nah, di bab ini kita akan belajar cara menangani ekspresi-ekspresi yang tampak rumit ini! Kita akan belajar dua hal utama:

1. Pecahan Parsial - cara memecah pecahan rumit menjadi pecahan-pecahan yang lebih sederhana

2. Ekspansi Binomial - cara mengembangkan (1 + x)^n ketika n bukan bilangan bulat positif

🔢 7.1 Pecahan Aljabar Tidak Wajar (Improper Algebraic Fractions)

Apa itu Pecahan Tidak Wajar?

Ingat pecahan biasa seperti 11/5? Ini disebut pecahan tidak wajar karena pembilang (11) lebih besar dari penyebut (5). Kita bisa menulisnya sebagai 2 + 1/5.

Untuk pecahan aljabar, konsepnya sama tapi kita lihat derajat (pangkat tertinggi) dari pembilang dan penyebut.

Definisi: Pecahan aljabar P(x)/Q(x) disebut tidak wajar jika derajat P(x) ≥ derajat Q(x).

Contoh Pecahan Tidak Wajar

Mari lihat contoh: (x³ - 7x + 2)/(x - 2)

• Derajat pembilang = 3 (karena x³)

• Derajat penyebut = 1 (karena x)

• Karena 3 > 1, maka ini pecahan tidak wajar

Cara Menangani Pecahan Tidak Wajar

Kita gunakan pembagian panjang untuk mengubahnya menjadi: polinomial + pecahan wajar

Contoh Sederhana:

(x² + 3x + 1)/(x + 1)

Mari kita bagi:

    x + 2
x + 1 | x² + 3x + 1
        x² + x
        -------
            2x + 1
            2x + 2
            -------
               -1
            

Jadi: (x² + 3x + 1)/(x + 1) = (x + 2) + (-1)/(x + 1)

Latihan Ringan

Tentukan mana yang merupakan pecahan tidak wajar:

1. (x² + 1)/(x - 3) ✓ (derajat 2 > derajat 1)

2. (x + 5)/(x² - 1) ✗ (derajat 1 < derajat 2)

🧩 7.2 Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Mengapa Pecahan Parsial?

Bayangkan kamu punya pizza yang dipotong menjadi bagian-bagian kecil. Kadang lebih mudah bekerja dengan potongan-potongan kecil daripada pizza utuh yang besar!

Begitu juga dengan pecahan aljabar. Kadang lebih mudah bekerja dengan beberapa pecahan sederhana daripada satu pecahan rumit.

Kasus 1: Penyebut dengan Faktor Linear Berbeda

Aturan:
(px + q)/[(ax + b)(cx + d)] ≡ A/(ax + b) + B/(cx + d)

Contoh Mudah:

Mari kita pecah (7x - 1)/[(x + 1)(x - 2)]

Langkah 1: Tulis dalam bentuk:
(7x - 1)/[(x + 1)(x - 2)] ≡ A/(x + 1) + B/(x - 2)

Langkah 2: Kalikan kedua sisi dengan (x + 1)(x - 2):
7x - 1 ≡ A(x - 2) + B(x + 1)

Langkah 3: Cari nilai A dan B dengan substitusi nilai x yang tepat:
• Untuk x = -1: 7(-1) - 1 = A(-1 - 2) + B(-1 + 1)
-8 = -3A, jadi A = 8/3

• Untuk x = 2: 7(2) - 1 = A(2 - 2) + B(2 + 1)
13 = 3B, jadi B = 13/3

Hasil:
(7x - 1)/[(x + 1)(x - 2)] = (8/3)/(x + 1) + (13/3)/(x - 2)

Kasus 2: Penyebut dengan Faktor Linear Berulang

Aturan:
(px + q)/(ax + b)² ≡ A/(ax + b) + B/(ax + b)²

Contoh Mudah:

Mari kita pecah (3x + 1)/(x + 2)²

Langkah 1: Tulis dalam bentuk:
(3x + 1)/(x + 2)² ≡ A/(x + 2) + B/(x + 2)²

Langkah 2: Kalikan kedua sisi dengan (x + 2)²:
3x + 1 ≡ A(x + 2) + B

Langkah 3: Cari nilai A dan B:
• Untuk x = -2: 3(-2) + 1 = A(-2 + 2) + B
-5 = B

• Untuk x = 0: 3(0) + 1 = A(0 + 2) + B
1 = 2A - 5, jadi A = 3

Hasil:
(3x + 1)/(x + 2)² = 3/(x + 2) + (-5)/(x + 2)²

Kasus 3: Penyebut dengan Faktor Kuadrat

Aturan:
(px + q)/[(ax + b)(cx² + d)] ≡ A/(ax + b) + (Bx + C)/(cx² + d)

Contoh Mudah:

(2x + 3)/[(x - 1)(x² + 1)] ≡ A/(x - 1) + (Bx + C)/(x² + 1)

(Proses penyelesaian sama dengan kasus sebelumnya)

Kasus 4: Pecahan Tidak Wajar

Jika pecahan tidak wajar, kita harus:

1. Ubah dulu menjadi: polinomial + pecahan wajar

2. Lalu pecah bagian pecahan wajarnya

🌟 7.3 Ekspansi Binomial (1 + x)ⁿ untuk n Bukan Bilangan Bulat Positif

Mengingat Kembali Ekspansi Binomial

Dari Pure Mathematics 1, kita tahu:

(1 + x)ⁿ = 1 + nx + [n(n-1)/2!]x² + [n(n-1)(n-2)/3!]x³ + ...

Tapi dulu, n harus bilangan bulat positif. Sekarang kita akan menggunakan rumus ini untuk n yang bukan bilangan bulat positif!

Perbedaan Penting

Ketika n bukan bilangan bulat positif:

1. Deret tak hingga (tidak berhenti)

2. Hanya berlaku untuk |x| < 1

Contoh 1: n = -2

Mari kita kembangkan (1 + x)⁻²:

(1 + x)⁻² = 1 + (-2)x + [(-2)(-3)/2!]x² + [(-2)(-3)(-4)/3!]x³ + ...

= 1 - 2x + 3x² - 4x³ + ...

Berlaku untuk: |x| < 1

Contoh 2: n = 1/2

Mari kita kembangkan (1 + x)^(1/2):

(1 + x)^(1/2) = 1 + (1/2)x + [(1/2)(1/2-1)/2!]x² + [(1/2)(1/2-1)(1/2-2)/3!]x³ + ...

= 1 + (1/2)x + [(1/2)(-1/2)/2]x² + [(1/2)(-1/2)(-3/2)/6]x³ + ...

= 1 + (1/2)x - (1/8)x² + (1/16)x³ + ...

Berlaku untuk: |x| < 1

Latihan Ringan

Kembangkan (1 + 2x)⁻¹ sampai suku x³:

Jawaban:

(1 + 2x)⁻¹ = 1 + (-1)(2x) + [(-1)(-2)/2!](2x)² + [(-1)(-2)(-3)/3!](2x)³ + ...

= 1 - 2x + 2(4x²) - (6 × 8x³)/6 + ...

= 1 - 2x + 4x² - 8x³ + ...

Berlaku untuk: |2x| < 1, yaitu |x| < 1/2

🔄 7.4 Ekspansi Binomial (a + x)ⁿ untuk n Bukan Bilangan Bulat Positif

Rumus Umum

Untuk mengembangkan (a + x)ⁿ, kita keluarkan faktor a:

(a + x)ⁿ = aⁿ(1 + x/a)ⁿ

Kemudian gunakan rumus binomial:

aⁿ[1 + n(x/a) + n(n-1)/2!(x/a)² + n(n-1)(n-2)/3!(x/a)³ + ...]

Berlaku untuk: |x/a| < 1

Contoh: (2 + x)⁻¹

Mari kita kembangkan (2 + x)⁻¹:

(2 + x)⁻¹ = 2⁻¹(1 + x/2)⁻¹

= (1/2)[1 + (-1)(x/2) + (-1)(-2)/2!(x/2)² + ...]

= (1/2)[1 - x/2 + x²/4 - x³/8 + ...]

= 1/2 - x/4 + x²/8 - x³/16 + ...

Berlaku untuk: |x/2| < 1, yaitu |x| < 2

Latihan Ringan

Kembangkan (3 - x)⁻² sampai suku x²:

Jawaban:

(3 - x)⁻² = 3⁻²(1 - x/3)⁻²

= (1/9)[1 + (-2)(-x/3) + (-2)(-3)/2!(-x/3)² + ...]

= (1/9)[1 + 2x/3 + 3 × x²/9 + ...]

= 1/9 + 2x/27 + x²/27 + ...

Berlaku untuk: |x| < 3

🎯 7.5 Menggabungkan Pecahan Parsial dan Ekspansi Binomial

Mengapa Menggabungkan?

Inilah kekuatan sebenarnya dari aljabar lanjutan! Kita bisa memecah pecahan rumit menjadi bagian-bagian sederhana, lalu mengembangkan setiap bagian.

Contoh Lengkap

Mari kita selesaikan: (5x + 1)/[(1 - x)(1 + 2x)]

Langkah 1: Pecah menjadi pecahan parsial
(5x + 1)/[(1 - x)(1 + 2x)] ≡ A/(1 - x) + B/(1 + 2x)

Kalikan dengan (1 - x)(1 + 2x):
5x + 1 ≡ A(1 + 2x) + B(1 - x)

• Untuk x = 1: 6 = 3A, jadi A = 2
• Untuk x = -1/2: -3/2 = 3B/2, jadi B = -1

(5x + 1)/[(1 - x)(1 + 2x)] = 2/(1 - x) + (-1)/(1 + 2x)

Langkah 2: Ubah ke bentuk yang bisa dikembangkan
2/(1 - x) - 1/(1 + 2x) = 2(1 - x)⁻¹ - (1 + 2x)⁻¹

Langkah 3: Kembangkan setiap bagian
Untuk 2(1 - x)⁻¹:
2(1 - x)⁻¹ = 2(1 + x + x² + x³ + ...) = 2 + 2x + 2x² + 2x³ + ...
(berlaku untuk |x| < 1)

Untuk -(1 + 2x)⁻¹:
-(1 + 2x)⁻¹ = -(1 - 2x + 4x² - 8x³ + ...) = -1 + 2x - 4x² + 8x³ + ...
(berlaku untuk |2x| < 1, yaitu |x| < 1/2)

Langkah 4: Gabungkan hasil
(5x + 1)/[(1 - x)(1 + 2x)] = (2 + 2x + 2x² + 2x³) + (-1 + 2x - 4x² + 8x³) + ...
= 1 + 4x - 2x² + 10x³ + ...

Berlaku untuk: |x| < 1/2 (mengambil syarat yang paling ketat)

Diagram Alur Penyelesaian

Alur Penyelesaian Pecahan Parsial + Ekspansi Binomial

1. Pecahan Rumit
        ↓
2. Pecah menjadi Pecahan Parsial
        ↓
3. Ubah ke bentuk (1 + x)ⁿ
        ↓
4. Ekspansi Binomial
        ↓
5. Gabungkan Hasil
            

💪 Latihan Soal

Soal 1 (Pecahan Parsial)

Pecahkan dalam pecahan parsial: (3x + 7)/[(x + 1)(x - 2)]

Jawaban:

(3x + 7)/[(x + 1)(x - 2)] = 2/(x + 1) + 1/(x - 2)

Soal 2 (Ekspansi Binomial)

Kembangkan (1 - 3x)⁻¹ sampai suku x³

Jawaban:

(1 - 3x)⁻¹ = 1 + 3x + 9x² + 27x³ + ...

(berlaku untuk |3x| < 1, yaitu |x| < 1/3)

Soal 3 (Gabungan)

Pecahkan dan kembangkan: 2/[(1 + x)(1 - 2x)] sampai suku x²

Jawaban:

1. Pecahan parsial: 2/[(1 + x)(1 - 2x)] = (2/3)/(1 + x) + (4/3)/(1 - 2x)

2. Ekspansi: (2/3)(1 - x + x² - ...) + (4/3)(1 + 2x + 4x² + ...)

3. Hasil: 2 + 2x + 6x² + ...

📋 Ringkasan

Pecahan Parsial

• Faktor linear berbeda: A/(ax + b) + B/(cx + d)
• Faktor linear berulang: A/(ax + b) + B/(ax + b)²
• Faktor kuadrat: A/(ax + b) + (Bx + C)/(cx² + d)

Ekspansi Binomial

• Rumus: (1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n-1)/2!×x² + n(n-1)(n-2)/3!×x³ + ...
• Syarat: |x| < 1
• Untuk (a + x)ⁿ: Keluarkan aⁿ terlebih dahulu

Tips Sukses

1. Selalu periksa apakah pecahan wajar atau tidak wajar

2. Gunakan substitusi nilai x yang tepat untuk mencari konstanta

3. Perhatikan syarat berlakunya ekspansi binomial

4. Latihan rutin dengan berbagai jenis soal

🎓 Penutup

Aljabar lanjutan ini seperti bermain puzzle matematik yang menarik! Dengan memecah masalah rumit menjadi bagian-bagian sederhana, kita bisa menyelesaikan soal yang terlihat mustahil.

Ingat, kunci sukses adalah:

• Pahami konsep sebelum menghafal rumus
• Latihan bertahap dari soal mudah ke sulit
• Jangan takut membuat kesalahan - itu bagian dari belajar!

Selamat belajar dan semoga sukses! 🎓