Further Differentiation PM2
📐 DIFFERENTIATION
Cambridge AS & A Level Mathematics - Pure Mathematics 2
📚 Apa yang Akan Anda Pelajari:
- Mendiferensiasikan produk dan hasil bagi
- Menggunakan turunan dari ex, ln(x), sin(x), cos(x), tan(x)
- Mencari turunan dari fungsi implisit dan parametrik
- Menerapkan diferensiasi untuk menyelesaikan masalah nyata
4.1 ATURAN PRODUK (PRODUCT RULE)
Apa itu Aturan Produk?
Ketika kita perlu mendiferensiasikan fungsi yang dikalikan bersama, kita menggunakan Aturan Produk. Contoh: y = (x + 1)⁴ × (3x - 2)³
📌 RUMUS ATURAN PRODUK
Jika y = u × v, maka:
dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)
Fungsi pertama × turunan kedua + Fungsi kedua × turunan pertama
Contoh Langkah demi Langkah
Contoh 1: Cari dy/dx ketika y = (x + 1)⁴(3x - 2)³
u = (x + 1)⁴ (fungsi pertama)
v = (3x - 2)³ (fungsi kedua)
du/dx = 4(x + 1)³
dv/dx = 9(3x - 2)²
4.2 ATURAN HASIL BAGI (QUOTIENT RULE)
Apa itu Aturan Hasil Bagi?
Ketika kita memiliki satu fungsi dibagi dengan fungsi lainnya, kita menggunakan Aturan Hasil Bagi. Contoh: y = (x² - 5)/(2x + 1)
📌 RUMUS ATURAN HASIL BAGI
Jika y = u/v, maka:
dy/dx = [v(du/dx) - u(dv/dx)]/v²
"Bawah kali turunan atas minus atas kali turunan bawah, dibagi bawah kuadrat"
• Bawah = penyebut (denominator)
• Atas = pembilang (numerator)
4.3 TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL
Sifat Istimewa ex
Fungsi ex memiliki sifat ajaib: turunannya adalah dirinya sendiri!
📌 ATURAN EKSPONENSIAL DASAR
d/dx(ex) = ex
Turunan dari ex sama dengan ex!
4.4 TURUNAN FUNGSI LOGARITMA
Logaritma Natural ln(x)
Logaritma natural ln(x) adalah fungsi invers dari ex.
📌 ATURAN LOGARITMA DASAR
d/dx(ln x) = 1/x
Turunan dari ln(x) adalah satu per x!
4.5 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
📌 TURUNAN TRIGONOMETRI DASAR
d/dx(sin x) = cos x
d/dx(cos x) = -sin x
d/dx(tan x) = sec²x
4.6 DIFERENSIASI IMPLISIT
Apa itu Fungsi Implisit?
Sejauh ini, semua fungsi dalam bentuk y = f(x) (eksplisit). Tapi terkadang persamaan tidak dapat diatur ulang ke dalam bentuk ini:
- x² + y² = 25 (persamaan lingkaran)
- x³ + y³ = 3xy
Ini disebut fungsi implisit.
🔑 IDE KUNCI
Diferensiasikan KEDUA sisi terhadap x, memperlakukan y sebagai fungsi dari x.
Saat mendiferensiasikan suku-y, gunakan aturan rantai:
d/dx(yn) = ny(n-1) × dy/dx
4.7 DIFERENSIASI PARAMETRIK
Apa itu Persamaan Parametrik?
Terkadang x dan y diberikan sebagai fungsi dari variabel ketiga yang disebut parameter (biasanya t atau θ).
📌 ATURAN RANTAI UNTUK PERSAMAAN PARAMETRIK
dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)
Atau ditulis sebagai: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
📋 RINGKASAN LENGKAP ATURAN DIFERENSIASI
ATURAN DASAR
- d/dx(xn) = nx(n-1)
- d/dx(konstanta) = 0
- d/dx(cf(x)) = c × f'(x)
ATURAN PRODUK
d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)
"Pertama × turunan kedua + Kedua × turunan pertama"
ATURAN HASIL BAGI
d/dx(u/v) = [v(du/dx) - u(dv/dx)]/v²
"Bawah kali turunan atas minus atas kali turunan bawah, per bawah kuadrat"
FUNGSI EKSPONENSIAL
- d/dx(ex) = ex
- d/dx(e(ax+b)) = ae(ax+b)
- d/dx(e(f(x))) = f'(x) × e(f(x))
FUNGSI LOGARITMA
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(ln(ax+b)) = a/(ax+b)
- d/dx(ln(f(x))) = f'(x)/f(x)
FUNGSI TRIGONOMETRI (RADIAN!)
| Fungsi | Turunan |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | sec²(x) |
💪 SOAL LATIHAN
Soal 1: Aturan Produk
Cari dy/dx ketika y = (3x + 2)(x² - 1)
Klik untuk Solusi
Soal 2: Aturan Hasil Bagi
Cari dy/dx ketika y = (x² + 1)/(x - 2)
Klik untuk Solusi
⚠️ KESALAHAN UMUM YANG HARUS DIHINDARI
❌ Kesalahan 1: Lupa Aturan Rantai
Salah: d/dx(sin(3x)) = cos(3x)
Benar: d/dx(sin(3x)) = 3cos(3x)
Selalu kalikan dengan turunan bagian dalam!
❌ Kesalahan 2: Tanda Aturan Hasil Bagi
Salah: [v(du/dx) + u(dv/dx)]/v²
Benar: [v(du/dx) - u(dv/dx)]/v²
Itu MINUS, bukan plus!
❌ Kesalahan 3: Tanda Negatif pada cos(x)
Salah: d/dx(cos x) = sin x
Benar: d/dx(cos x) = -sin x
Jangan lupa tanda negatif!
❌ Kesalahan 4: Menggunakan Derajat, Bukan Radian
Semua kalkulus dengan trigonometri HARUS menggunakan radian!
Jika diberikan derajat, konversi dulu: radian = derajat × π/180
