Trigonometri, Peluang dan Statistik

Quiz 1:
 Fullscreen Mode

Quiz 2:
 Fullscreen Mode

📊 Rangkuman Rumus Matematika SMA

Trigonometri, Peluang dan Statistik
Oleh: Agus Salim

📈 1. STATISTIK

Statistik adalah cabang matematika yang berkaitan dengan pengumpulan, analisis, interpretasi, presentasi, dan organisasi data. Dalam konteks SMA, fokus utama adalah pada ukuran pemusatan data dan ukuran penyebaran data.

🎯 1.1 Ukuran Pemusatan Data

📊 1.1.1 Rata-rata (Mean)

a. Data Tunggal

x̄ = (Jumlah semua nilai data) / (Banyaknya data)

Keterangan:
• x̄ = rata-rata
• n = banyaknya data

b. Data Kelompok

x̄ = (Σ(fi × xi)) / (Σfi)

Keterangan:
• fi = frekuensi kelas ke-i
• xi = nilai tengah kelas ke-i
• Σfi = jumlah seluruh frekuensi

📊 1.1.2 Median

Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.

a. Data Tunggal

Posisi Median = (n + 1) / 2

1. Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar
2. Jika n ganjil, median adalah nilai data di posisi tengah
3. Jika n genap, median adalah rata-rata dari dua nilai data di posisi tengah

b. Data Kelompok

Me = L + ((1/2×n - F) / f) × p

Keterangan:
• Me = Median
• L = Batas bawah kelas median
• F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
• f = Frekuensi kelas median
• p = Panjang kelas interval

📊 1.1.3 Modus

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul.

a. Data Tunggal

Modus untuk data tunggal adalah nilai yang memiliki frekuensi tertinggi.

b. Data Kelompok

Mo = L + (d₁/(d₁ + d₂)) × p

Keterangan:
• Mo = Modus
• L = Batas bawah kelas modus
• d₁ = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
• d₂ = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
• p = Panjang kelas interval

📏 1.2 Ukuran Penyebaran Data

📊 1.2.1 Simpangan Baku (Standard Deviation)

Simpangan baku mengukur seberapa jauh setiap titik data menyimpang dari rata-rata.

s = √(Σ(xi - x̄)² / (n))

Keterangan:
• s = simpangan baku
• xi = nilai data ke-i
• x̄ = rata-rata
• n = banyaknya data

📊 1.2.2 Kuartil (Quartile)

Kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama. Ada tiga kuartil: Q₁, Q₂ (Median), dan Q₃.

Posisi Qk = (k × (n + 1)) / 4

Keterangan:
• k = 1, 2, atau 3
• n = banyaknya data

📊 1.2.3 Desil (Decile)

Desil membagi data yang telah diurutkan menjadi sepuluh bagian yang sama. Ada sembilan desil (D₁, D₂, ..., D₉).

Posisi Dk = (k × (n + 1)) / 10

Keterangan:
• k = 1, 2, ..., 9
• n = banyaknya data

🎲 2. PELUANG

Peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Konsep dasar peluang meliputi ruang sampel, titik sampel, kejadian, dan perhitungan peluang suatu kejadian.

🎯 2.1 Konsep Dasar Peluang

• Ruang Sampel (S): Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
• Titik Sampel: Anggota dari ruang sampel
• Kejadian (A): Himpunan bagian dari ruang sampel

🎯 2.2 Peluang Suatu Kejadian

P(A) = n(A) / n(S)

Keterangan:
• P(A) = Peluang kejadian A
• n(A) = Banyaknya anggota kejadian A
• n(S) = Banyaknya anggota ruang sampel

🎯 2.3 Peluang Kejadian Majemuk

🔄 2.3.1 Peluang Gabungan Dua Kejadian (A atau B)

• Kejadian Saling Lepas:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Jika kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara bersamaan.

• Kejadian Tidak Saling Lepas:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Jika kejadian A dan B dapat terjadi secara bersamaan.

🔄 2.3.2 Peluang Irisan Dua Kejadian (A dan B)

• Kejadian Saling Bebas:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Jika kejadian A dan B tidak saling mempengaruhi.

• Kejadian Tidak Saling Bebas (Bersyarat):

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

Jika kejadian A mempengaruhi kejadian B, dimana P(B|A) adalah peluang kejadian B terjadi setelah kejadian A terjadi.

🔢 2.4 Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan adalah metode untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin dalam menyusun atau memilih objek.

✖️ 2.4.1 Aturan Perkalian

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n₁ cara, dan kejadian kedua dapat terjadi dalam n₂ cara, maka total cara adalah n₁ × n₂ × ...

🔄 2.4.2 Permutasi

Permutasi adalah susunan yang berbeda dari objek-objek dengan memperhatikan urutan.

P(n,n) = n!

Permutasi n objek yang berbeda

P(n,k) = n! / (n-k)!

Permutasi k objek dari n objek yang berbeda

P = n! / (k₁! × k₂! × ... × kₘ!)

Permutasi dengan unsur yang sama, dimana k₁, k₂, ..., kₘ adalah banyaknya unsur yang sama

🔄 2.4.3 Kombinasi

Kombinasi adalah susunan yang berbeda dari objek-objek tanpa memperhatikan urutan.

C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)

Kombinasi k objek dari n objek yang berbeda

📐 3. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DAN SUDUT ISTIMEWA

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut segitiga, terutama segitiga siku-siku. Konsep-konsep dasar trigonometri sangat penting dalam berbagai bidang ilmu.

📐 3.1 Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Untuk segitiga siku-siku dengan salah satu sudut lancip α:

sin α = sisi depan / sisi miring

cos α = sisi samping / sisi miring

tan α = sisi depan / sisi samping

Perbandingan Trigonometri Kebalikan:

csc α = 1/sin α = sisi miring / sisi depan

sec α = 1/cos α = sisi miring / sisi samping

cot α = 1/tan α = sisi samping / sisi depan

⭐ 3.2 Sudut Istimewa Trigonometri

Sudut istimewa adalah sudut-sudut tertentu yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan tanpa menggunakan kalkulator. Sudut-sudut istimewa yang umum adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.

Sudut (°)	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	½√3	⅓√3
45°	½√2	½√2	1
60°	½√3	1/2	√3
90°	1	0	Tak Terdefinisi

🔄 3.3 Sudut Berelasi (Kuadran)

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di luar kuadran I (0°-90°) dapat ditentukan menggunakan konsep sudut berelasi. Sistem koordinat Kartesius dibagi menjadi empat kuadran, dan tanda nilai trigonometri berbeda di setiap kuadran.

Aturan Tanda di Setiap Kuadran:

• Kuadran I (0° < α < 90°): Semua perbandingan trigonometri (sin, cos, tan) bernilai positif
• Kuadran II (90° < α < 180°): Hanya sinus yang bernilai positif, kosinus dan tangen bernilai negatif
• Kuadran III (180° < α < 270°): Hanya tangen yang bernilai positif, sinus dan kosinus bernilai negatif
• Kuadran IV (270° < α < 360°): Hanya kosinus yang bernilai positif, sinus dan tangen bernilai negatif

Rumus Sudut Berelasi:

• Kuadran I:

sin(90° - α) = cos α
cos(90° - α) = sin α
tan(90° - α) = cot α

• Kuadran II:

sin(180° - α) = sin α
cos(180° - α) = -cos α
tan(180° - α) = -tan α

• Kuadran III:

sin(180° + α) = -sin α
cos(180° + α) = -cos α
tan(180° + α) = tan α

• Kuadran IV:

sin(360° - α) = -sin α
cos(360° - α) = cos α
tan(360° - α) = -tan α

🔗 3.4 Identitas Trigonometri Dasar

Beberapa identitas trigonometri dasar yang penting:

sin²α + cos²α = 1

tan α = sin α / cos α

cot α = cos α / sin α

1 + tan²α = sec²α

1 + cot²α = csc²α

🎓 Selamat Belajar!

Rangkuman ini telah mencakup materi lengkap Statistik, Peluang, dan Trigonometri untuk tingkat SMA. Gunakan rumus-rumus ini sebagai referensi dalam menyelesaikan soal-soal matematika.