The Poisson distribution

Petualangan Matematika: Distribusi Poisson

Halo anak-anak hebat! Selamat datang di kelas Matematika bersama Pak/Bu Guru. Hari ini, kita akan belajar tentang Distribusi Poisson, sebuah topik seru di dunia probabilitas dan statistik yang membantu kita memahami kejadian-kejadian langka di sekitar kita!

Apa Itu Distribusi Poisson?

Distribusi Poisson adalah alat matematika yang digunakan untuk menghitung kejadian langka yang terjadi secara acak dan independen dalam suatu interval waktu atau ruang tertentu. Misalnya:

• Jumlah kecelakaan mobil di jalan raya dalam sehari.
• Jumlah panggilan darurat ke rumah sakit dalam satu jam.
• Jumlah kesalahan ketik dalam satu halaman.

Berbeda dengan Distribusi Binomial (yang punya jumlah percobaan tetap) atau Distribusi Geometrik (yang menghitung sampai keberhasilan pertama), Distribusi Poisson cocok untuk situasi tanpa batasan percobaan tetap dan kejadiannya jarang terjadi.

1. Pengenalan Distribusi Poisson

Bayangkan sebuah kisah dari tahun 1898. Seorang matematikawan bernama Ladislaus Bortkiewicz meneliti jumlah tentara Prusia yang tewas karena tendangan kuda. Data ini menjadi contoh klasik Distribusi Poisson karena:

• Kejadiannya jarang (tidak setiap hari ada tentara yang tewas).
• Terjadi secara acak (sulit diprediksi).
• Dihitung dalam interval tertentu (misalnya, per tahun).

Karakteristik Kunci

Distribusi Poisson punya ciri-ciri spesial, yaitu kejadian terjadi:

• Satu per satu (singly): Tidak muncul bergerombol sekaligus.
• Secara acak (at random): Tidak bisa diprediksi kapan terjadi.
• Secara independen (independently): Satu kejadian tidak memengaruhi kejadian lain.
• Pada tingkat konstan (at a constant rate): Rata-rata kejadian stabil seiring waktu atau ruang.

Mean dan Variansi

Hal keren dari Distribusi Poisson adalah mean (rata-rata) dan variansi (penyebaran) nilainya sama, disebut λ (lambda). Misalnya, jika rata-rata kematian akibat tendangan kuda adalah 0.7 per tahun, variansinya juga mendekati 0.7. Ini jadi ciri khas Poisson!

Rumus Probabilitas Poisson

Untuk menghitung peluang terjadinya r kejadian dengan rata-rata λ, kita pakai rumus ini:

P(X = r) = (e⁻λ × λʳ) / r!

Apa arti bagian-bagiannya?

• P(X = r): Peluang terjadinya tepat r kejadian.
• e: Bilangan Euler, sekitar 2.7183 (ada di kalkulator!).
• λ: Rata-rata jumlah kejadian dalam interval.
• r: Jumlah kejadian yang kita cari (0, 1, 2, dst.).
• r!: Faktorial dari r (misalnya, 3! = 3 × 2 × 1 = 6; 0! = 1).

Contoh Sederhana

Sebuah klinik menerima rata-rata 1.7 pasien per 30 menit. Berapa peluang tepat 3 pasien datang dalam 30 menit?

- λ = 1.7

- r = 3

- P(X = 3) = (e⁻¹.⁷ × 1.7³) / 3!

- e⁻¹.⁷ ≈ 0.1827, 1.7³ = 4.913, 3! = 6

- P(X = 3) ≈ (0.1827 × 4.913) / 6 ≈ 0.1501

Jadi, peluangnya sekitar 15%.

2. Menyesuaikan Distribusi Poisson untuk Interval Berbeda

Kita bisa mengubah λ sesuai panjang interval. Jika rata-rata kejadian adalah λ per satuan waktu, maka untuk k satuan waktu, rata-ratanya jadi k × λ.

Contoh

Hotline menerima rata-rata 6 panggilan per menit.

- Dalam 1 menit: λ = 6

- Dalam 10 menit: λ = 10 × 6 = 60

- Peluang 50 panggilan dalam 10 menit? Pakai λ = 60 di rumus Poisson!

Contoh lain: Kantor pos punya rata-rata 2 orang per 5 menit.

- Dalam 10 menit: λ = 2 × 2 = 4

- P(X = 3) ≈ 0.195

- Dalam 30 menit: λ = 6 × 2 = 12

- P(X > 4) ≈ 0.9924

3. Distribusi Poisson sebagai Aproksimasi Distribusi Binomial

Distribusi Poisson bisa digunakan untuk mendekati Distribusi Binomial jika:

• n (jumlah percobaan) besar (n ≥ 50).
• p (peluang sukses) sangat kecil (p ≤ 0.05).
• np (rata-rata Binomial) sedang (np ≤ 5).

Saat itu, Binomial X ~ B(n, p) bisa diganti dengan Poisson X ~ Po(λ), di mana λ = np.

Contoh

Sebuah kotak berisi 1000 komponen, 0.4% rusak. Berapa peluang lebih dari 5 rusak?

- n = 1000, p = 0.004

- λ = np = 1000 × 0.004 = 4

- P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5) ≈ 0.215 (21.5%)

4. Distribusi Normal sebagai Aproksimasi Distribusi Poisson

Jika λ besar (λ ≥ 15), Distribusi Poisson X ~ Po(λ) bisa diaproksimasi dengan Distribusi Normal X ~ N(λ, λ).

Koreksi Kontinuitas

• P(X = r) → P(r - 0.5 < Y < r + 0.5)
• P(X ≤ r) → P(Y < r + 0.5)
• P(X ≥ r) → P(Y > r - 0.5)
• P(X > r) → P(Y > r + 0.5)

Contoh

Penyu bertelur rata-rata 60 telur per sarang.

- X ~ N(60, 60)

- P(X = 50) ≈ 0.0226

- P(X > 74) ≈ 0.0307

5. Uji Hipotesis dengan Distribusi Poisson

Kita bisa menguji klaim tentang rata-rata kejadian dengan langkah:

1. Tentukan H₀ (tidak ada perubahan) dan H₁ (ada perubahan).
2. Pilih tingkat signifikansi (misalnya, 5%).
3. Hitung p-value pakai Poisson atau aproksimasi.
4. Bandingkan p-value:
   • Jika p-value < 5%, tolak H₀.
   • Jika p-value ≥ 5%, gagal tolak H₀.
5. Tulis kesimpulan.

Contoh

1% orang positif tes alergi. Di desa, 4 dari 120 positif. Apakah ada peningkatan?

- λ = 120 × 0.01 = 1.2

- H₀: λ = 1.2, H₁: λ > 1.2

- P(X ≥ 4) ≈ 0.0338 < 0.05

- Tolak H₀: Ada bukti peningkatan.

Kesimpulan

Selamat! Kalian sudah menguasai Distribusi Poisson. Ini alat hebat untuk menganalisis kejadian langka di dunia nyata. Teruslah belajar dan bertanya jika ada yang bingung!