Linear combinations of random variables
Fullscreen Mode
Kombinasi Linear Variabel Acak
Topik ini membahas bagaimana menggabungkan beberapa variabel acak dan menganalisis rata-rata (ekspektasi) serta varians (ukuran sebaran) dari kombinasi tersebut. Konsep ini sangat penting dalam berbagai aplikasi, seperti manajemen portofolio saham atau perhitungan waktu total dalam triathlon.
Bab 3: Kombinasi Linear Variabel Acak
Dalam bab ini, kita akan mempelajari:
- Menemukan rata-rata (mean) dan varians dari kombinasi linear variabel acak.
- Menghitung probabilitas dari kombinasi linear variabel acak.
- Menyelesaikan masalah yang melibatkan kombinasi linear variabel acak.
3.1 Ekspektasi dan Varians dari Satu Variabel Acak yang Diubah
Aturan Pertama: Menambah atau Mengurangi Konstanta
Jika kalian memiliki variabel acak X dan sebuah angka b (konstanta):
Var(X + b) = Var(X)
- Ekspektasi: Jika setiap hasil yang mungkin ditambah/dikurangi dengan nilai yang sama, rata-rata juga akan ditambah/dikurangi dengan nilai yang sama.
- Varians: Menambah atau mengurangi sebuah konstanta tidak mengubah sebaran data, jadi variansnya tetap sama.
Aturan Kedua: Mengalikan dengan Konstanta
Jika kalian memiliki variabel acak X dan sebuah angka a (konstanta):
Var(aX) = a² × Var(X)
- Ekspektasi: Jika setiap hasil yang mungkin dikalikan dengan nilai yang sama, rata-rata juga akan dikalikan dengan nilai yang sama.
- Varians: Mengalikan dengan sebuah konstanta 'a' akan mengubah varians menjadi 'a kuadrat' dikalikan varians awal.
Menggabungkan Aturan (Aturan Emas 3.1):
Untuk Variabel Acak X dan konstanta a serta b:
Var(aX + b) = a²Var(X)
Penting untuk Diingat: X2 vs. X1 + X2
Ini adalah perbedaan krusial:
- X2 (atau 2X): Menggandakan satu hasil dari variabel acak X.
- E(2X) = 2 × E(X)
- Var(2X) = 2² × Var(X) = 4 × Var(X)
- X1 + X2: Menjumlahkan hasil dari dua percobaan independen dari variabel acak X.
- E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2) = 2 × E(X)
- Var(X1 + X2) = Var(X1) + Var(X2) = 2 × Var(X)
Perhatikan: Ekspektasinya sama, tetapi variansnya berbeda! Var(2X) = 4Var(X) sedangkan Var(X1 + X2) = 2Var(X).
3.2 Penjumlahan dan Selisih Variabel Acak Independen
Ini berlaku untuk dua atau lebih variabel acak yang independen (hasil satu tidak memengaruhi yang lain).
Aturan Emas 3.2: Penjumlahan Variabel Acak Independen
Untuk dua variabel acak independen X dan Y:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
Aturan Emas 3.3: Selisih Variabel Acak Independen
Untuk dua variabel acak independen X dan Y:
Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)
Ringkasan Penting: Saat variabel acak independen digabungkan, variansnya selalu ditambahkan, tidak peduli apakah kalian menjumlahkan atau mengurangi ekspektasinya.
Aturan Emas 3.4: Kombinasi Linear Umum Variabel Acak Independen
Untuk dua variabel acak independen X dan Y, dan konstanta a serta b:
Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y)
Misalkan ada sebuah variabel acak X yang rata-ratanya E(X) = 5 dan variansnya Var(X) = 2.
Berapa nilai E(3X + 4) dan Var(3X + 4)?
Penyelesaian:
- E(3X + 4) = 3 × E(X) + 4 = 3 × 5 + 4 = 15 + 4 = 19
- Var(3X + 4) = 3² × Var(X) = 9 × 2 = 18
3.3 Bekerja dengan Distribusi Normal
Aturan Emas 3.5: Kombinasi Linear Variabel Acak Normal
- Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi Normal, maka aX + b (di mana a dan b adalah konstanta) juga memiliki distribusi Normal.
- Jika variabel acak kontinu X dan Y memiliki distribusi Normal yang independen, maka aX + bY (di mana a dan b adalah konstanta) juga memiliki distribusi Normal.
Langkah-langkah untuk variabel acak Normal:
- Definisikan variabel acak baru (misalnya, S = X + Y).
- Hitung rata-rata (ekspektasi) variabel acak baru ini.
- Hitung varians variabel acak baru ini.
- Karena variabel acak baru ini berdistribusi Normal, kalian sekarang punya distribusi Normal lengkap untuk variabel baru tersebut (misalnya, S ~ N(rata-rata_S, varians_S)).
- Gunakan ini untuk menghitung probabilitas yang diinginkan.
Berat tas kecil tepung (X) berdistribusi Normal dengan rata-rata 2.1 kg dan standar deviasi 0.2 kg (X ~ N(2.1, 0.2²)).
Berat tas besar tepung (Y) berdistribusi Normal dengan rata-rata 6.6 kg dan standar deviasi 0.4 kg (Y ~ N(6.6, 0.4²)).
X dan Y independen. Berapa probabilitas bahwa massa tas besar lebih dari tiga kali massa tas kecil?
Penyelesaian:
- Definisikan variabel acak baru: D = Y - 3X.
- E(D) = E(Y - 3X) = E(Y) - 3E(X) = 6.6 - 3(2.1) = 0.3
- Var(D) = Var(Y - 3X) = Var(Y) + 9Var(X) = 0.4² + 9(0.2²) = 0.16 + 0.36 = 0.52
- D ~ N(0.3, 0.52)
- P(D > 0) menggunakan Z-score = (0 - 0.3) / √0.52 ≈ -0.416
- P(D > 0) = P(Z > -0.416) ≈ 0.661
3.4 Kombinasi Linear Distribusi Poisson
Aturan Emas 3.6: Penjumlahan Variabel Acak Poisson Independen
- Jika variabel acak X dan Y memiliki distribusi Poisson yang independen, maka X + Y juga memiliki distribusi Poisson.
- Jika X ~ Po(λ) dan Y ~ Po(µ), maka X + Y ~ Po(λ + µ).
Penting: Keterbatasan Distribusi Poisson
Sifat "tetap berdistribusi Poisson" ini hanya berlaku untuk penjumlahan variabel acak Poisson yang independen.
- Selisih (X - Y) dari variabel acak Poisson TIDAK akan berdistribusi Poisson.
- Kelipatan (aX) dari variabel acak Poisson TIDAK akan berdistribusi Poisson.
Mengapa tidak? Untuk sebuah distribusi Poisson, rata-rata (mean) harus sama dengan variansnya. Ketika kalian menghitung selisih atau kelipatan, hubungan kesamaan antara rata-rata dan varians ini biasanya akan rusak, sehingga hasilnya bukan lagi distribusi Poisson.
Josh dan Reuben mengirim pesan teks yang independen. Jumlah pesan teks yang dikirim Josh setiap minggu (J) berdistribusi Poisson dengan rata-rata 3.2 (J ~ Po(3.2)). Jumlah pesan teks yang dikirim Reuben setiap minggu (R) berdistribusi Poisson dengan rata-rata 2.5 (R ~ Po(2.5)).
a) Tuliskan distribusi untuk T, di mana T adalah jumlah total pesan teks yang dikirim Josh dan Reuben setiap minggu.
b) Hitung P(T > 5).
Penyelesaian:
a) Karena J dan R independen dan berdistribusi Poisson, maka T = J + R juga berdistribusi Poisson dengan rata-rata yang dijumlahkan.
Rata-rata T = 3.2 + 2.5 = 5.7
Jadi, T ~ Po(5.7)
b) P(T > 5) = 1 - P(T ≤ 5) ≈ 0.673
Daftar Periksa Pembelajaran dan Pemahaman
E(aX + b) = aE(X) + b
Var(aX + b) = a²Var(X)
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y)
Untuk Distribusi Spesifik:
- Jika X memiliki distribusi Normal, maka aX + b juga memiliki distribusi Normal.
- Jika X dan Y memiliki distribusi Normal independen, maka aX + bY juga memiliki distribusi Normal.
- Jika variabel acak independen X dan Y memiliki distribusi Poisson, maka X + Y juga memiliki distribusi Poisson.
Catatan penting: Untuk Poisson, ini hanya berlaku untuk penjumlahan! Selisih atau kelipatan tidak akan berdistribusi Poisson.
Comments
Post a Comment